扁桃体发炎退烧后开始咳嗽，可能是支气管炎、支气管肺炎等造成的，建议明确病因后，在医生的指导下，对症使用相关药物进行治疗，具体如下：

1.支气管炎：通常会有咳嗽，咯痰等症状，严重时可能会出现呼吸困难，紫绀和胸痛等不适。另外支气管炎多是在病毒性感冒之后发生，早期可以有发热，鼻塞，流涕等感冒症状。一般以对症治疗为主，若患者咳痰量增加时，可以使用羧甲司坦、桉柠蒎肠溶软胶囊等化痰药物；咳嗽剧烈时，可以使用右美沙芬、喷托维林等止咳药物；如果出现明显的咳嗽、咳黄痰、体温增高，可以考虑使用阿莫西林、头孢拉定等抗生素。

2.支气管肺炎：主要临床表现为发烧，寒战，胸痛，咳嗽，咳痰，气喘和呼吸困难等表现，严重的患者可以出现烦躁不安，血压下降，心慌气短，甚至休克等表现。症状不严重可以口服阿莫西林、头孢呋辛等抗生素，比较严重则需要静脉输液治疗，一般需要使用两种抗生素联合使用。如果支气管炎出现高热症状时还需要服用布洛芬、对乙酰氨基酚等药物进行治疗及缓解症状。